google到数学里定义的群(group): G为非空集合，如果在G上定义的二元运算 *，满足

（1）封闭性（Closure）：对于任意a，b∈G，有a*b∈G（2）结合律（Associativity）：对于任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）（3）幺元 （Identity）：存在幺元e，使得对于任意a∈G，e*a=a*e=a（4）逆元：对于任意a∈G，存在逆元a^-1，使得a^-1*a=a*a^-1=e

则称（G，*）是群，简称G是群。

如果仅满足封闭性和结合律，则称G是一个半群（Semigroup）；如果仅满足封闭性、结合律并且有幺元，则称G是一个含幺半群（Monoid）。

相比公式还是用代码表达更容易理解，下面表示一个半群(semigroup):

trait SemiGroup[T] {    def append(a: T, b: T): T}

特质SemiGroup，定义了一个二元操作的方法append，可以对半群内的任意2个元素结合，且返回值仍属于该半群。

我们看具体的实现，一个Int类型的半群实例：

object IntSemiGroup extends SemiGroup[Int] {    def append(a: Int, b: Int) = a + b}// 对2个元素结合val r = IntSemiGroup.append(1, 2)

现在在半群的基础上，再增加一个幺元(Identity，也翻译为单位元)，吐槽一下，幺元这个中文不知道最早谁起的，Identity能表达的意义(同一、恒等)翻译到中文后完全消失了。

trait Monoid[T] extends SemiGroup[T] {    // 定义单位元    def zero: T}

上面定义了一个幺半群，继承自半群，增加了一个单位元方法，为了容易理解，我们用zero表示，半群里的任何元素a与zero结合，结果仍是a本身。

构造一个Int类型的幺半群实例：

object IntMonoid extends Monoid[Int] {    // 二元操作    def append(a: Int, b: Int) = a + b    // 单位元    def zero = 0}

构造一个String类型的幺半群实例：

object StringMonoid extends Monoid[String] {    def append(a: String, b: String) = a + b    def zero = ""}

再构造一个复杂点的 List[T] 的幺半群工厂方法：

def listMonoid[T] = {    new Monoid[List[T]] {         def zero = Nil        def append(a: List[T], b: List[T]) = a ++ b     }}

OK,现在我们已经了解了幺半群是什么样了，但它有什么用？

http://hongjiang.info/semigroup-and-monoid/